从算法来看,数字图像处理可以分为很多种,传统的方法如Mallat小波变换是将图像分为像素点来处理,现今用的较多的是利用偏微分方程将图像视为某种场或物理状态的演化进行处理.图像在采集、传输和存贮的过程中不可避免地会受到外界源的干扰而产生噪声,要想获得高质量的图像信息,滤除噪声是必不可少的步骤,而滤波效果的好坏会直接影响图像的处理效果,因此利用算法进行图像滤波处理至关重要.国外,Osher和Vese提出了一个非线性双曲型的冲击滤波器模型,利用模型进行边缘增强和去模糊处理^[1];Perona和Malik^[2]于1990年提出图像去噪模型,为偏微分方程在图像处理领域的应用开辟了很多新的方向,减弱噪声的同时模糊图像区域边界等特征^[3];Shapiro将离散正交小波变换应用于图像编码,得到了比其他图像编码方法更好的压缩效果^[4];Mallat等最早将小波变换应用于信号的奇异性检验及图像多尺度边缘提取中,取得满意的实验结果^{[5, 6, 7]}.国内学者也对图像处理的各方面进行了较多的研究,晁锐等改进了小波变换基础上的图像融合算法;大连海事大学的郭亮研究了基于偏微分方程的图像滤波处理,通过实验证明了改进PM模型的合理性和有效性;蔡超对基于小波分析和偏微分方程的图像处理方法进行了细致的研究;董卫军研究了小波变换在图像处理中的应用^{[8, 9, 10, 11]}.

无论哪种算法,在进行图像处理时,都是将图像分为连续和离散(数字的)两种.当图像函数为连续时,通常采用偏微分方程进行处理;当图像离散时,多采用随机理论和小波分析进行处理.本文提出的一种算法^[12]是对电荷耦合器件(CCD)传感器的物理描述,CCD传感器在采样点处数字化,形成像素栅格,这些像素在空间上是分立的,但像素之间的信息结构是相互联系的,文中利用像素在空间上分立、在信息结构上相联系的特性,建立了像素之间的时间演化方程.当空间结构信息是非线性时,可得到图像像素的非线性微分差分方程,分析证明该演化方程具有孤波解的形式,该孤波解在研究中被称作图像孤波.首先借助文献^[12]建立时间演化方程,对方程进行分析求解,提出基于孤波的图像处理模型,并应用于图像滤波处理.

图 1和图 2分别建立了一维和二维图像像素栅格动力系统模型.

图 1 一维图像像素栅格动力系统模型 Fig. 1 One-dimensional image pixel grid power system model

图选项

图 2 二维图像像素栅格 Fig. 2 Two-dimensional image pixel grid

图选项

图 1表示的是一维非线性像素栅格动力学方程,设x_n(t)表示第n个像素值为M的像元受到相邻像元影响所产生的效应,F(r)=a(1－e^－br)为像素相互之间的影响效果^[12],其中:r为连续变量,a为图像的性质参数,b为图像集群性质,集群近景则b值小,反之则b值大,而其他像素对它的影响可以忽略不计,则像素作用时间演化方程为^{[13, 14]}

结合式(1)则:

进一步化简:

结合公式F(r)=a(1－e^－br)对式(3)进行化简:

进一步推导,式(3)可化为

式(4)是标准的非线性微分差分方程,由于式(4)中n为整数,其表明像素作用的时间演化方程有孤波形式的解析解,即图像孤波解^[15]:

根据图 2的二维像素栅格方程,考察某像素点受四邻域像素的影响.利用Hamilton理论建立四次非线性相互作用下的二维像素影响方程,该方程的Hamilton为^[16]

式(7)也具有孤波解,并可简化方程组:

当m,n代表x轴和y轴时,方程组(8)表示孤波在笛卡儿坐标系中横向和纵向的传播.由式(1)可知,二维图像像素影响方程的解可以根据一维模型的解直接推出,这就是图像的二维模型.

根据像素动力学方程,本节对模型性能进行分析并应用此动力学方程来对图像进行处理.像素栅格方程实际上是一个非线性微分-差分方程,若按照偏微分方程在图像处理中的方法,直接利用演化方程对图像进行处理,将会出现很多问题.考虑到方程是非线性且解不唯一的特性,文中详细分析了孤波性能并根据模型性能对图像进行处理.

分析孤波间的相互作用,可知像素栅格方程具有多孤波解.实际应用中主要考察2孤子解的相互作用,具体分析如下:

式(10)中φ₁和φ₂分别对应参数为k₁和k₂的孤立子解的像素孤波,ω₁和ω₂的正负性代表像素孤波之间不同的行进方向,文中主要分析像素孤波相对行进的情况,此时ω₁和ω₂异号.

相对作用的情况下,ω₁=ab/msinh k₁ 和 ω₂=－ab/msinh k₂,则

引入由f_n所表示的波形.注意到f_n=m/b·(ln(1+φ₁))_tt 与 f_n=m/b(ln(1+φ₂))_tt分别表示参数k₁与k₂的像素孤波,下标tt表示对时间的二阶导数,且(ln φ₁)_tt=(ln φ₂)_tt=0,k₁>k₂>0,考虑φ₁与φ₂取值范围不同时f_n所表示的波形,孤立波有如下4条性质:

1) φ₂≈1,φ₁≤1时,ψ_n=1+φ₂,相应于k₂波;当φ₂≈1,φ₁≥1时,ψ_n=φ₁(1+A₁₂φ₂),f_n=mb·(ln ψ_n)_tt=mb(ln(1+φ~₂))_tt,其中φ~₂=A₁₂φ₂·exp2k₂n－ω₂t－δ₂+12ln A₁₂这也相应于k₂波,但相位有所移动,由δ₂变到δ′_2=δ2－12ln A₁₂.

2) 同理,当φ₁≈1,φ₂≤1时,ψ_n=1+φ₁,相应于k₁波;当φ₁≈1,φ₂≥1时,这也相应于k₁波,但相位有所移动,相应δ₁改变为δ′_{1=δ1－12ln A12.}

3) 当φ₁≤1,φ₂≤1时,ψ_n≈1,(ln ψ_n)_tt≈0,即f_n＜＜1;当φ₁＞＞1,φ₂＞＞1时,ψ_n≈A₁₂φ₁φ₂,(ln ψ_n)_tt=(ln φ₁)_tt+(ln φ₂)_tt≈0,即f_n＜＜1;当φ₁＞＞1,φ₁φ₂≈1时,ψ_n≈φ₂,而φ₂＜＜1,φ₁φ₂≈1时,ψ_n≈φ₁,均有(ln ψ_n)_tt≈0,即f_n＜＜1;均表示没有像素孤波.

4) 当φ₁≈1,φ₂≈1时,两个像素孤波非线性叠加.

利用上面像素孤波的存在情况来分析在整个时间轴演化时波形的变化情况进行讨论:

1) 在k₂n－ω₂t－δ₂=0附近,φ₂≈1,而 φ₁=, k₁ω₂－k₂ω₁=(k₁sinh k₂－k₂sinh k₁)<0,故φ₁→∞,由上述像素孤波存在性质可知在k₂n－ω₂t－δ₂=0附近ψ_n→∞,f_n近似于k₂波,中心位置在δ₂－12ln A₁₂.

2) 在k₁n－ω₁t－δ₁=0附近,φ₁≈1,而φ₂=,k₂ω₁－k₁ω₂=(k₂sinh k₁－k₁sinh k₂)>0,故φ₂→0,可知在k₁n－ω₁t－δ₁=0附近,f_n近似于k₁波.

3) 除去上述的其他地方,φ₁、φ₂很小或者是很大,f_n≈0,即表示没有像素孤波.

当t很大时,φ₁≈1与φ₂≈1都不同时成立;所以当t→－∞或t→∞时,k₁波与k₂波都是彼此分离地独立运动着,没有相互作用.但当t在[－∞,∞]演化时,参数k₁的波逐渐追赶上参数k₂对应的波,当达到φ₁≈1,φ₂≈1的位置时,两个像素孤波便会发生相互作用,作用后参数k₁波将超前于参数k₂的波,两个像素孤波又相互分开各自独立运动.

两个像素孤波发生相互作用的具体位置n和时间t则由k₁n－ω₁t－δ₁=k₂n－ω₂t－δ₂=0来求解,结果为

两个像素孤波发生相互影响后,像素孤波不会发生改变,只是波的中心位置分别由δ′₂和δ₁移到δ₂和δ′₁,即参数为k₁像素孤波在原基础上向前平移12ln A_1/2,像素参数为k₂孤波则对应向后平移1/2ln A_1/2.

说明模型存在两个像素孤波,且两个孤波可以相互影响,影响过后又可恢复到各自的原来状态,这样稳定的孤波具有原子性,对其他像素产生影响自身却并不发生改变,因此可以用孤波代替图像的像素.

相互作用后的两个孤波形状和速度都没有改变,只是像素孤波的相位发生了改变.因此从相位改变中提取图像的方位信息,建立一种映射将相位偏移转化为方位信息Ψ′=Ψ+ψ,其中Ψ为孤波的前进方向,ψ为相位的偏移方向,Ψ′为相位改变后的方向.同时,两个孤波产生碰撞时像素孤波的幅值是非线性叠加的,这个非线性叠加的幅值即像素之间相互影响的大小.

由第2节的论述可知,像素栅格方程有很多孤波解,但众多的孤波解并不能直接用于方程演化,文中利用方程的解直接作用到像素上也就是用孤波代替像素.应用文中的模型对图像进行滤波处理,主要注意如下几点:

1) 孤波模型具有解析解,可以直接代替像素,孤波幅值的变化与参数k₁和k₂有关且与波的宽度成反比,不同的参数值可以得到不同尺度的孤波,处理中将归一化的像素值作为孤波初始值,本文利用像素归一化的灰度值作为初始化的参数,通过乘以相应的系数k来改变参数得到像素孤波.

2) 处理图像时只需考虑初始相位的孤波解.

3) 虽然像素栅格方程是随时间演化的,但图像处理时只考虑相对碰撞发生时刻.

4) 处理时给出像素孤波碰撞产生相互影响的方向信息.

5) 建立4邻域孤波模板,将1)~4)放在一个处理模板里.

6) 所建立的模板利用幅值的变化范围和方向判断某像素点是否是噪声.若不能判定则改变孤波的参数值,得到不同尺度的孤波重新进行判断,重复操作直到得到不同尺度下的图像的细节.

结合MATLAB,利用上述方法对椒盐噪声进行图像处理的仿真,给出了以k为参数的图像滤波,结果如图 3所示,其中图 3(c)的k₁值为1,图 3(d)的k₂值为0.8.

图 3 基于孤波的图像滤波算法仿真 Fig. 3 Algorithm simulation of image filtering based on solitary waves

图选项

本文对像素栅格动力学方程的性能进行分析,给出了利用孤波来进行图像处理的原因和方法,可以得到:

1) 像素栅格方程可以提供图像的幅值和方向信息,图像的像素可以用像素孤波来代替.

2) 文中采用的算法包含图像的方向信息,在滤波处理时可以更清晰地突出图像的边缘.

3) 文中算法处理得到的图像平滑度低于最优算子,但边缘和细节信息保留较好,高于一般的滤波算法.

4) 处理过程中参数设置不当,算法的非线性效应会造成数值计算的溢出,在对溢出进行归一化时产生的干扰噪声,有待进一步深入研究.