有限元方法现被广泛用于各领域的工程分析.然而,有限元方法是基于许多假设的,当这些假设与实际情况不符时会导致有限元分析与试验结果之间存在较大误差.这些误差常常由以下几方面的不确定性引起:结构的材料属性,几何特征以及边界条件等.模型修正技术是利用试验结果改善有限元模型的质量,尽可能减小有限元分析和试验结果之间的误差的技术.模型修正技术的基本思想是通过分析输出变量和输入变量之间的关系,结合有限元分析和试验结果构造目标函数,利用优化算法对有限元模型中不确定的输入变量进行修正,从而修正有限元模型.早期的模型修正方法是直接修正法[1, 2, 3, 4, 5].该方法的优点是不需要进行迭代计算,计算量较小且不存在收敛性问题.这类方法能够完全再现试验结果,但修正后的质量和刚度矩阵没有确切的物理意义,且常常在工程上不可实现.为了保留模型的物理意义,出现了迭代修正法[6, 7, 8, 9, 10, 11, 12].迭代修正法需要在每次迭代过程中计算输出变量对修正参数的敏感性,利用Taylor展开式计算参数的修正量.迭代修正法在每一次迭代过程中都要重新进行有限元计算,因此当模型较大时,会带来耗时和收敛性差等问题.为了解决这样的问题,近年来出现了基于替代模型的模型修正法.这种方法利用替代模型来替代原有限元模型,计算时不需要反复调用有限元模型进行迭代分析,因此计算速度更快,且收敛性较好.基于响应面的模型修正法是一种常用的替代模型法.该方法利用试验设计法(DOE,Design of Experiment)对修正参数进行采样并计算各采样点的输出,利用这些采样点构造响应面来近似输出变量和输入参数之间的关系,再利用有限元分析和试验结果构造目标函数,利用优化算法对目标函数进行优化从而得到参数修正量.基于响应面的模型修正方法常被用于大型结构分析中,如桥梁,建筑等[13, 14, 15].
在航空航天以及汽车等领域,有限元方法被广泛用于印制电路板(PCB,Printed Circuit Board)的振动响应特性分析[16, 17, 18, 19, 20, 21].然而,PCB采用的是复合材料,其材料属性在很大程度上取决于生产工艺.不同的PCB生产商生产出来的PCB材料属性存在很大差异,且大部分情况下并不知道其确切值.虽然有部分文献指出了PCB材料属性的不确定性对其有限元分析结果有很大影响[22, 23, 24],但目前很少有文献给出详细的PCB有限元模型的修正过程.
本文将给出利用基于响应面的模型修正技术对PCB有限元模型进行修正的过程,目标是利用自由边界条件下的模态频率对不确定的材料属性(正交各向异性的弹性模量、主泊松比和剪切模量)进行估计.该修正过程首先将材料属性作为输入变量并对各输入变量进行敏感性和重要度分析,确定出重要的输入参数;然后采用中心复合设计(CCD,Central Composite Design)进行试验设计,对重要输入参数进行采样并计算;接着利用二次多项式响应面估计PCB的模态频率和输入参数的关系;最后利用有限元分析和模态试验得到的模态频率构造多个目标函数,并采用遗传算法进行优化分析.本文给出一个案例对上述的修正过程进行了阐述.
1 基于响应面方法的模型修正技术
基于响应面方法的模型修正技术是一种基于响应面对结构响应特性进行近似,进而对目标函数进行优化分析,最终对不确定的输入参数进行修正以提高有限元模型精度的技术.基于响应面方法的模型修正技术流程图如图 1所示.主要过程包括:
1) 初步选择优化参数,确定其上下限,利用参数敏感性分析和重要度分析确定重要参数,从而确定最终的优化参数;
2) 利用DOE构造采样点并调用有限元模型计算输出参数;
3) 利用输入参数和输出参数构造响应面并对响应面进行回归误差分析;
4) 测试结构的振动响应特性,并利用有限元分析和试验结果构造目标函数;
5) 在响应面模型的范围内进行迭代分析,从而对目标函数进行优化,得到优化后的输入参数和优化后的有限元模型.
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| 图 1 基于响应面方法的模型修正技术流程图Fig. 1 Procedure of model updating technique based on response surface method |
修正参数必须满足两个条件:①具有不确定性;②结构响应对其敏感.当修正参数太多时,尤其是超过了可测量的结构响应的数量时,优化过程中将出现病态矩阵问题.因此,首先要对修正参数进行敏感性分析,确定少量的重要参数,提高计算精度和速度.
1.1.1 敏感性分析
敏感性分析能够给出输出变量对输入变量的全局敏感性.正敏感性表示输出变量随着输入变量的增大而增大,负敏感性表示输出变量随着输入变量的增大而减小.本文采用Spearman秩排序法计算相关性系数以确定参数敏感性,该方法同时考虑了输入参数和输出参数的变化范围.
1.1.2 重要度分析
重要度分析用来确定各输入参数对选定的输出参数的影响,从而确定各输入参数的重要程度.假设输出变量与输入变量之间存在线性或二次关系,利用R2准则来判定参数的重要度:
R2越接近1,表明选定的输入参数越重要,越接近0,表明该参数可从修正参数集中去掉,在有限元计算时作为常数.
1.2 试验设计方法
响应面是对采样点的拟合,因此采样点的选择很大程度上决定了响应面的准确性和计算效率.采样点少则导致响应面准确性差,采样点多则导致计算效率低.在实际应用中,采样点是利用DOE确定的.本文采用的DOE方法是常用的中心复合设计法,该方法能够构造出简单的多项式型响应面.CCD采用正交表进行试验设计以确定选定参数的采样点.常用的CCD方法有3种:外切中心复合设计、嵌套中心复合设计以及面心立方设计.经典的CCD方法包含3部分:①析因部分:一个立方体的2k顶点或这些析因点的一部分;②带有参数α的2k个星点;③中心点.该方法是一种5水平部分析因设计方法:(-α,-1,0,1,+α)或(-1,-1/α,0,1/α,1).当星点处于设计空间每个面上时,CCD从5水平退化为3水平:(-1,0,1).
1.3 响应面回归分析
响应面的类型对分析结果影响重大.不同的响应面可用于不同的应用情况.在与结构动力学相关的模型修正中,多项式型响应面是常用的响应面类型,该类响应面计算简单且精度较高.本文采用二次多项式响应面,计算公式如下:
采样点必须大于等于多项式的项数.当采样点大于多项式的项数时,式(2)为超定方程,需要利用回归技术对响应面进行拟合.在这种情况下,响应面通常不可能在每个样本点得到精确解.最小二乘拟合常被用于构造响应面.在利用响应面进行结果估计和模型修正之前,必须对响应面的拟合度进行检验.R2准则再次用来检验响应面拟合度.R2越接近于1,表明响应面拟合度越高,利用响应面估计得到的计算结果也就越准确.
1.4 目标函数构造与优化分析
在进行与结构动力学相关的模型修正时,常常利用结构的振动响应特性来构造目标函数.本文利用结构的模态频率来构造目标函数,并利用多目标函数遗传优化算法(MOGA,Multiple Objective Genetic Algorithm)进行优化分析.MOGA的流程图如图 2所示,主要包括以下步骤:
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| 图 2 MOGA流程图Fig. 2 Procedure of MOGA |
1) 创建初始群体;
2) 利用交叉运算和变异运算创建新群体;
3) 利用新群体更新设计点,计算目标函数并检验其收敛性,若满足则修正完成,否则进入下一步;
4) 检查停止准则,若不满足则回到第2)步继续迭代,若满足则停止,迭代失败,重新定义目标函数,重新进行模型修正.
2 案例分析
案例分析对象为特制的菊花链电路PCB,尺寸为203 mm×140 mm×1.6 mm.初始的材料属性如表 1所示.
| 参数 | 初始值 | 参数 | 初始值 |
| Ex/GPa | 18.7 | μxz | 0.18 |
| Ey/GPa | 16.7 | Gxy/GPa | 3.28 |
| Ez/GPa | 7.4 | Gyz/GPa | 2.4 |
| μxy | 0.13 | Gxz/GPa | 2.4 |
| μyz | 0.42 | ρ/(kg·m-3) | 1 836 |
采用固定加速度传感器,移动力锤的方法对PCB进行自由模态试验,共35个测试点(7×5),试验示意图和PCB测试点分布如图 3所示.
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| 图 3 试验设置Fig. 3 Test setup |
将测得的加速度频响函数转换为速度频响函数,如图 4所示.利用模态指示函数(MIF,Mode Indicate Function)、稳定图(stabilization diagram)和全局时域复指数法提取共振频率和振型.试验振型的MAC(Modal Assurance Criterion)值如表 2所示.从表 2可以看出,测试点数量足够多,振型之间相互独立.试验模态频率的结果如表 3所示.从表 3可以看出,模型修正前的前6阶频率误差最大为7.7%,最小为3.3%.
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| 图 4 速度频响函数Fig. 4 Mobility |
| 模态阶数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 1 | 0 | 0.03 | 0 | 0 | 0.01 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0.01 |
| 3 | 0.03 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0.02 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0.01 |
| 6 | 0.01 | 0.01 | 0.02 | 0 | 0.01 | 1 |
| 模态阶数 | 试验模态频率/Hz | 仿真结果 | |||
| 修正前 | 修正后 | ||||
| 频率/Hz | 误差/% | 频率/Hz | 误差/% | ||
| 1 | 85.4 | 79.663 | -6.7 | 85.208 | -0.2 |
| 2 | 125.4 | 120.73 | -3.7 | 125.52 | 0.0 |
| 3 | 214.9 | 202.58 | -5.7 | 214.54 | -0.2 |
| 4 | 291.6 | 273.25 | -6.3 | 301.07 | 3.2 |
| 5 | 338.8 | 312.58 | -7.7 | 337.85 | -0.3 |
| 6 | 353.4 | 341.88 | -3.3 | 359.4 | 1.7 |
利用ANSYS对PCB进行有限元建模,采用200个壳单元,边界条件为自由状态.有限元和试验振型的MAC值如表 4所示.表 4中第1行表示试验的前6阶模态,第1列表示有限元计算的前6阶模态.从表 4可以看出,有限元和试验的模态振型相关性较好(对角项均大于0.8),且不同阶振型的独立性较好(非对角项均接近0).
| 模态 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| FEA1 | 0.94 | 0.04 | 0.05 | 0 | 0 | 0.01 |
| FEA2 | 0.01 | 0.93 | 0.02 | 0 | 0 | 0.03 |
| FEA3 | 0 | 0 | 0.86 | 0.05 | 0 | 0.06 |
| FEA4 | 0 | 0 | 0 | 0.91 | 0.02 | 0.05 |
| FEA5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.94 | 0 |
| FEA6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.03 | 0.80 |
PCB的密度和几何尺寸比较容易测量,且相对变化很小,因此本文将PCB的正交各向异性材料属性(3个弹性模量,3个泊松比,3个剪切模量)作为初始输入(修正)变量,前6阶共振频率和一个自定义变量作为输出变量,自定义变量为前6阶模态频率的残差平方和:
输入参数的敏感性分析如图 5所示.
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| 图 5 参数敏感性分析Fig. 5 Parameter sensitivity analysis |
由图 5可以看出,输出变量只对Ex,Ey和Gxy敏感.利用这3个输入变量进行重要度检验,结果如图 6所示.由图 6可以看出,当选择这3个变量为重要参数时,前6阶模态频率和自定义输出变量的R2均接近1,因此将这3个输入参数作为最终的优化参数.利用DOE生成15个试验点(采样点),生成算法为CCD.
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| 图 6 参数重要度分析Fig. 6 Parameter importance analysis |
利用2阶多项式拟合出响应面,目标函数和Ex,Ey的响应面如图 7所示.利用R2准则进行响应面的拟合度检验,结果如图 8所示.由图 8可以看出,前6阶共振频率的R2均接近1,因此拟合度较高.
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| 图 7 响应面示例Fig. 7 Example of response surface |
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| 图 8 响应面拟合度检验Fig. 8 Response surface fitness check |
PCB的前3阶模态频率常常是最重要的,利用前3阶共振频率构造3个目标函数:
利用MOGA对多目标函数迭代计算,目标是使得4个目标函数最小化.初始样本数为100,每一次迭代生成100组新的样本,迭代算法采用的是遗传基因算法,每一次的变异概率(mutation probability)为0.01,每一次交叉概率(crossover probability)为0.98.设置两种收敛准则:最大允许Pareto比和收敛稳定比.迭代过程如图 9~图 11所示.可以看出,经过6次迭代后4个目标函数都达到了收敛值(第2个目标函数收敛性相对较差),Pareto百分比达到稳定值70%,Stability百分比达到稳定值2%,收敛速度较快.
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| 图 9 前3阶共振频率迭代过程Fig. 9 Iteration processes of first three resonant frequencies |
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| 图 10 第4个目标函数迭代过程Fig. 10 Iteration process of fourth objective function |
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| 图 11 两种迭代判据下的收敛过程Fig. 11 Convergence process with two different iterative criteria |
修正前后PCB的材料属性如表 5所示.利用修正后的材料属性得到修正后的模态频率如表 3所示.由表 3可以看出,修正后PCB前6阶模态频率的误差最大为3.2%,最小为0.
| 修正状态 | Ex/GPa | Ey/GPa | Gxy/GPa |
| 修正前 | 18.7 | 16.7 | 3.28 |
| 修正后 | 22.7 | 18 | 3.76< |
本文提出了利用DOE,二次多项式响应面,多目标函数和遗传优化算法对自由边界条件下的PCB进行模型修正的方法,结论如下:
1) 在自由边界条件下,Ex,Ey和Gxy对PCB的模态频率影响最大.
2) 修正后PCB前6阶模态频率的误差最大为3.2%,最小为0,达到了模型修正的目的.
3) 多目标函数修正过程收敛速度较快,可利用已有商业有限元软件直接进行分析,易于工程应用.
本文虽然只研究了自由边界条件下裸板的模型修正,但只要选择好适当的修正参数,本文提出的方法也可用于对真实使用条件下安装了元器件的PCB进行模型修正,这也是作者下一步将要研究的内容.
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