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刘志君, 高亚奎, 章卫国. 成本约束的表决冗余系统可靠度优化与分配[J]. 北京航空航天大学学报, 2014, 40(12): 1747-1753
Liu Zhijun, Gao Yakui, Zhang Weiguo. Reliability-redundancy optimization and allocation of voting system under cost constraint[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2014, 40(12): 1747-1753.
成本约束的表决冗余系统可靠度优化与分配
刘志君1, 高亚奎2, 章卫国3    
1. 西北工业大学 自动化学院, 西安 710129;
2. 中国航空工业集团公司 第一飞机设计研究院, 阎良 710000;
3. 西北工业大学 自动化学院, 西安 710129
收稿日期:2014-01-13; 网络出版日期: 2014-06-04
基金项目：航空科学基金资助项目(20125853035);国家973计划资助项目(20126131890302).
作者简介: 刘志君(1982-),女,山东东明人,博士生,liuzhijun2001@163.com.
摘要：在成本限制下,为使系统的可靠度最大,系统采用表决冗余结构,并对具有表决冗余结构的系统可靠度和冗余度同时进行优化和分配,优化方法采用增广拉格朗日乘子法和鱼群算法相结合的混合算法;不仅分析了成本与可靠度的关系,同时讨论了表决器失效率对系统可靠度的影响;最后,以某型飞机的纵向俯仰运动飞行控制系统为例,仿真说明了在成本约束下,为使系统可靠度尽可能高,系统采用四余度配置更合理,且在只有单个表决条件下,应选取可靠度尽可能高的表决器.为避免单个表决器失效对系统可靠度的影响,实际系统中常选择多表决器冗余结构.
关键词： 可靠度     冗余度     表决器     增广拉格朗日乘子法     鱼群算法    
Reliability-redundancy optimization and allocation of voting system under cost constraint
Liu Zhijun1, Gao Yakui2, Zhang Weiguo3     
1. School of Automation, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710129, China;
2. The First Aircraft Institute, Aviation Industry Corporation of China, Yanliang 710000, China;
3. School of Automation, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710129, China
Abstract:Voting-redundancy structure was adopted in a system to maximize the system reliability under the cost constraint. With the combination of the augmented Lagrangian multiplier method and the fish swarm algorithm, a hybrid method was employed to optimize and allocate the system reliability and redundancies. In the meanwhile, the relationship between the reliability and the cost was not only analyzed, but also the impact of the voter failure rate on the system reliability was discussed. Finally, simulation results based on the longitudinal pitch motion flight control system of a certain type aircraft verify that the quaternion configuration is more appropriate to maintain an optimal system reliability taking into account the cost limit. In addition, in the case of a single voter, the voter reliability should be selected as high as possible. Most of the actual project systems select more voters redundancies structure to avoid the impact of single voter failure on the system reliability.
Key words: reliability     redundancy     voters     augmented Lagrangian multiplier method     fish swarm algorithm    

在实际工程中,系统可靠度优化是一项非常重要的研究内容,且多年来,对系统可靠度优化的研究已有大量文献[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13].为了设计一个具有高可靠度的系统,通常采用两种方式提高系统的可靠度：一是采用冗余形式,二是提高组件单元的可靠度.而提高组件单元的可靠度,不仅需要更精进的制造工艺,且需要更长的研制周期,从而使制造成本呈指数增加,但组件单元可靠度增加的非常有限.因此,在实际应用中,通常采用组件冗余的方式,提高整个系统的可靠度.

过去对系统可靠度的优化主要集中在假定构成组件的可靠度一定,在某种约束条件下,对系统的冗余进行分配.为了设计一个高可靠度的系统,Misra等人[4]提出了一个新的观点,即对组件的可靠度和冗余量同时进行优化分配.Garg等人[5]采用两阶段方法对系统可靠度-冗余度分配进行了研究,首先在第1阶段,基于蜂群免疫算法得到可靠度-冗余度优化分配的最优解,在此基础上,在冗余量固定的前提下得到组件可靠度的分配结果.高仁璟等人[6]采用遗传算法对电力系统的可靠度和余度进行了分配研究.文献[7]采用布谷鸟算法和遗传算法相结合的混合算法对4种类型的系统进行了可靠度-余度的分配与优化;Valian等人[8]提出基于惩罚引导的布谷鸟启发算法,用于系统可靠度-冗余度的优化和分配;为了更有效

地解决可靠度-冗余度的分配问题,Tan等人[9]提出了一种将粒子群(PSO)算法与差分进化(DE)和混沌局部搜索相结合的混合算法;而Wang等人[10]则将差分进化与协调搜索相结合解决可靠度-冗余度的连续优化和整数优化,使系统具有最优的可靠度.以上对可靠度-冗余度的分配研究均没有考虑具有表决结构的冗余度的分配对系统可靠度的影响.文献[13]对电路系统的交叉多表决器对冗余系统可靠度的影响进行了分析.

在前人研究的基础上,本文对飞行控制系统可靠度和冗余度的优化与分配进行了研究,并同时考虑了表决器对系统可靠度的影响.优化算法采用基于鱼群算法的混合算法,鱼群算法作为一种新型的群体智能优化方法,具有全局收敛性好,鲁棒性强等优点. 1 系统可靠度数学模型与分配算法

本文的研究对象为飞行控制系统,且假定该系统由4个子系统构成,即指令传感器组成的子系统、飞行控制计算机组成的子系统、作动器组成的子系统和速率陀螺组成的子系统.为了得到高可靠度的系统,各子系统均有冗余,且各冗余子系统均带有表决器.具有表决的冗余系统可靠度框图如图 1所示.

图 1 具有表决的冗余系统可靠度框图Fig. 1 Reliability-redundancy diagram of voting system
图选项

图 1中,mi表示第i子系统组件单元的冗余量,i=1,2,3,4.其中表决结构采用2/m表决进行系统可靠度的优化与分配.在进行系统可靠度的优化与分配前,先进行如下假设:

1) 各组件单元只有两种状态,即工作或失效;

2) 同一子系统的组件具有相同的可靠度;

3) 各组件单元以及各子系统相互独立;

4) 各表决器的结构和失效率具有一致性.

除作动器按照威布尔分布外,其余组件均按照指数分布. 1.1 可靠度数学模型

本文考虑在给定成本约束下,使系统的可靠度最大.具有表决的冗余系统可靠度模型如下.

其中,定义变量X=(r1,r2,r3,r4,m1,m2,m3,m4)；Rs表示系统可靠度;Ri表示第i子系统的可靠度;Riv表示第i子系统表决器的可靠度;n表示串联子系统数;ri表示第i子系统组件单元的可靠度;ci表示第i子系统组件单元的成本;αi和βi分别表示第i子系统组件单元的参数;C0为给定系统总成本.

根据表达式(1)的形式,冗余数为3,4,5时的子系统可靠度和系统可靠度可以分别表示为

参照文献[14]中提出的方法,采用鱼群算法和增广拉格朗日乘子法相结合的混合算法进行系统可靠度的分配与优化. 1.2 分配算法

增广拉格朗日乘子法常用于约束函数的优化求解,而鱼群算法作为一种新型的群体智能优化方法,具有全局收敛性好、鲁棒性强等优点,且无需设定决策变量的初始值.

定义增广拉氏函数为

其中,决策变量X∈Ω;f(X)为目标函数;gi(X)为不等式约束或等式约束函数;p为约束函数个数;λ∈R+m；ρ>0为拉格朗日惩罚参数.优化目标变成

将约束优化问题转化成了无约束优化问题.

首先,定义惩罚参数初值为

其中,[g(x)]+=max(0,gi(x)),并设定惩罚函数的范围ρ∈(ρl,ρu),ρl,ρu分别为ρ下限和上限;λk∈[0,λu],λu为λk的上限,定义拉氏乘子更新表达式为

设定算法精度为ε*,迭代终止条件更新表达式为

若满足vik≤ε*或外部迭代达到最大迭代次数Kmax,则算法停止.否则,若vk≤αvk－1(0<α<1),则停止惩罚;否则,按照一定的条件增大惩罚或减小惩罚.εk用于限制每次迭代过程中内部鱼群算法迭代的收敛精度.εk需满足k→∞时,εk→0.因此在本文中定义εk=max{ε*,10－k}.算法程序如图 2所示.

图 2 分配算法流程Fig. 2 Allocation algorithm process
图选项

程序的内部算法采用鱼群算法,用鱼群算法寻找增广拉氏函数的最优解,并将该最优解用于惩罚参数和拉氏参数等的更新.并需注意,将第k次得到的最优解作为第k+1次鱼群的一条人工鱼,其余人工鱼则随机生成.

鱼群算法的实现程序主要包括:初始化操作、觅食行为实现、聚群行为实现、追尾行为实现以及随机行为等.其中随机行为是觅食行为的一种缺省操作.影响算法的主要参数有:鱼群规模、迭代次数、视距、步长和拥挤度因子等.在本文中,视距参数采用自适应的方式实现,步长采用和决策变量有关的随机步长.

仿真说明本文采用的混合鱼群算法在处理约束优化问题中具有优良的全局收敛性能.选取文献[15]中的3个测试函数,仿真参数设定如下[9].鱼群算法的参数设定:鱼群规模Psize=160,最大迭代次数Gmax=100,g为迭代次数,拥挤度因子η=9,移动步长s=rand·max(Xmax－Xmin),遍历次数为10,视距v=δ·max(Xmax－Xmin).其中 仿真结果如表 1所示,并和文献[16]中的方法对比,说明本文所采用的优化方法能够较好地解决非线性函数的优化问题,优化得到的可行解具有较高的计算精度,且算法具有较好的稳定性,甚至对于较高维的优化函数也可以得到比较满意的可行解,如测试函数G02,维数为20.

表 1 测试函数优化对比 Table 1 Test function contrast optimization
测试函数理论最优值
f(x*)		fbest
AFS_aL文献[16]
G02-0.803 6-0.804 3-0.792 52
G06-6 961.81-6 961.9-6 961.45
G10 7 049.25 7 055.477 070.56
表选项
2 仿真分析

以某型飞机的纵向俯仰运动控制系统为例,在成本约束下,采用本文提出的优化算法,对具有冗余和表决的系统进行可靠度的优化与分配.

系统参数设定如下:组件常数α=(1，3.5，2，5),β=(0.3，0.55，0.4，0.65).指令传感器的失效率λc=2.2×10－5,飞行控制计算机的失效率λfc=2.5×10－4,作动器失效率λa=1.449 2×10－3,速率陀螺失效率λr=5×10－4,且给定系统总成本为30. 2.1 冗余对系统可靠度的影响分析

需要指出的是,表 2~表 5中的组件1,2,3,4分别代表组成子系统1,2,3,4的各组件单元.在对未优化系统进行可靠度分配时,本文采用[4, 4, 4, 5]的余度结构为例对比优化前与优化后的分配结果.同时不考虑表决器的失效,认为其完全可靠工作.系统未进行优化时分配的系统可靠度、各子系统可靠度以及各组件单元的可靠度如表 2所示,表 3说明未优化系统分配后的各组件的成本、子系统成本以及系统成本等,优化分配后的系统可靠度、各子系统可靠度以及各组件可靠度如表 4所示.优化后的系统成本、子系统成本和各组件成本如表 5所示.图 3和图 4分别说明了冗余对系统可靠度和子系统可靠度的影响.图 5表示了组件可靠度与成本间的函数关系.

表 2 优化前的可靠度 Table 2 Unoptimized reliabilities
组件可靠度子系统可靠度 冗余系统可靠度
组件1组件2组件3组件4子系统1子系统2子系统3子系统4
0.827 870 350.517 855 840.924 564 650.966 996 620.982 233 710.713 794 430.998 380 090.999 994 224,4,4,50.699 973 17
0.839 367 580.878 870 070.871 566 230.696 113 510.985 418 30.993 536 750.992 342 10.967 726 34,4,4,50.940 196 25
0.827 738 950.585 593 340.853 023 040.515 916 420.982 195 010.803 807 550.988 699 850.831 762 514,4,4,50.649 252 48
0.847 414 310.658 549 740.975 111 020.517 223 040.987 415 970.881 542 090.999 939 480.833 287 654,4,4,50.725 290 28
0.827 5490.581 305 870.559 498 840.749 182 030.982 138 970.798 598 970.771 054 430.984 182 454,4,4,50.595 199 2
表选项

表 3 优化前的成本与可靠度 Table 3 Unoptimized costs and reliabilities
组件可靠度子系统可靠度 系统总成本系统可靠度
组件1组件2组件3组件4子系统1子系统2子系统3子系统4
0.827 852 190.664 376 20.916 895 861.093 448 93.313 408 772.658 550 483.667 583 465.467 244 5215.104 787 20.699 973 17
0.848 590 980.881 711 520.810 468 390.804 843 133.394 363 943.526 846 073.241 873 564.024 215 6714.187 299 20.940 196 25
0.827 623 260.688 428 330.783 495 890.744 314 703.310 493 032.753 713 303.133 983 573.721 573 5112.919 763 40.649 252 48
0.864 008 680.718 858 371.138 666 060.744 666 073.456 034 742.875 433 484.554 664 263.723 330 3314.609 492 80.725 290 28
0.827 292 650.686 810 870.563 968 440.829 793 613.309 170 582.747 243 482.255 873 764.148 968 0712.461 255 90.595 199 2
表选项

表 4 优化分配后的可靠度 Table 4 Optimized and allocated reliabilities
组件可靠度子系统可靠度 冗余系统可靠度
组件1组件2组件3组件4子系统1子系统2子系统3子系统4
0.993 563 650.993 563 650.989 348 520.991 963 440.999 999 060.999 999 990.999 999 940.999 999 985,5,5,50.999 998 971
0.993 449 590.992 592 150.985 354 140.981 125 910.999 999 990.999 998 380.999 999 770.999 999 385,4,5,50.999 997 522
0.972 748 350.989 807 770.999 681 120.987 508 110.999 997 300.999 999 950.999 999 999 90.999 999 885,5,5,50.999 997 13
0.986 005 090.980 471 150.975 740 7030.997 153 120.999 999 810.999 999 280.999 998 3020.999 999 999 65,5,5,50.999 997 396
0.995 826 630.999 420 990.998 936 370.993 428 720.999 999 710.999 999 9990.999 999 9950.999 999 9914,4,4,50.999 999 695
表选项

表 5 优化后的成本与系统可靠度 Table 5 Optimized costs and system reliability
组件可靠度子系统可靠度 系统总成本系统可靠度
组件1组件2组件3组件4子系统1子系统2子系统3子系统4
1.460 582 21.342 910 461.308 411 281.277 088 077.302 911 016.714 552 36.542 056 386.385 440 3626.944 960 10.999 998 971
1.808 468 31.320 819 491.244 719 481.166 095 519.042 341 75.283 277 976.223 597 384.945 748 5626.379 694 60.999 997 522
1.380 792 41.270 677 552.010 140 251.219 747 786.903 962 016.353 387 7510.050 701 266.098 738 9129.406 789 90.999 997 13
1.580 718 481.168 492 651.1437 910 71.411 999 277.903 592 375.842 463 235.718 955 357.059 996 3726.525 007 30.999 997 396
1.943 709 61.721 372 071.769 212 711.303 256 137.774 838 426.885 488 297.076 850 826.516 280 6628.253 458 20.999 999 695

表选项

图 3 冗余对系统可靠度的影响Fig. 3 Iimpact of redundancy on system reliability
图选项

图 4 冗余对子系统可靠度的影响Fig. 4 Impact of redundancy on subsystems reliability
图选项

图 5 成本与组件可靠度的关系Fig. 5 Reliability relationship between costs and components
图选项

首先,通过表 2~表 5中的数据对比,虽然未优化系统的成本降了下来,但系统可靠度最高仅达0.940 196 25;表 4的数据说明优化后系统的可靠度主要集中分布0.999 997~0.999 999,表 5中的系统总成本主要集中分布在26~29,数据分布比较均匀,说明文中采用的算法具有较强的全局收敛性,且算法的稳定性较好;其次,如果没有采用冗余结构,优化后的系统可靠度最高仅达到0.987 658,而采用冗余后的系统可靠度最高可以达到0.999 999 695,说明在现有制造工艺和成本限制下,冗余大大提高了系统的可靠度.得到的系统可靠度最优为0.999 999 695的优化结果中,系统冗余数为[4, 4, 4, 5]，反而比其他几组数据的冗余度要少,这是因为组件可靠度比其他几的要高,这证明了提高系统可靠度的两种途径,即提高组件可靠度或采用冗余.综合表 4和表 5的结果,以组件1的可靠度和成本优化结果为例,在组件可靠度提高0.023 1时,成本就增加0.562 9,说明组件可靠度的提高要以花费高昂的成本为代价,图 5很好地证明这一点.

同时从图 3和图 4可以清楚地看到,冗余度的不同对系统可靠度和子系统可靠度的显著影响,同时发现冗余度为4和5的系统可靠度曲线几乎完全重合,说明系统可靠度的提高并不是采用冗余越多越好.另外,在系统可靠度不小于0.99的要求下,冗余度为3的系统能够维持时间约为107 h,而冗余度为4和5的系统可以持续到288 h.因此,在可用资源有限的条件下,目前飞行控制系统大多选用4余度配置结构. 2.2 表决器对系统可靠度的影响分析

以4余度配置系统为例,时间设定为500 h,分析表决器失效率对系统可靠度和子系统可靠度的影响.图 6中表决器的失效率设定为: λv1=10－7,λv2=10－5,λv3=10－4,λv4=10－3.图 7中以λv=10－4为例,分析说明表决器的失效率对子系统可靠度影响.

图 6 表决器对系统可靠度的影响Fig. 6 Impact of voters on system reliability
图选项

图 7 表决器对子系统可靠度的影响Fig. 7 Impact of voters on subsystems reliability
图选项

从图 6中,可以清楚地看到,在表决器失效率λv≤10－7的条件下,系统可靠度曲线几乎和不考虑表决器失效时完全重合.当不考虑组成系统单元组件失效时,随着表决器失效率的增大,系统可靠度急剧下降,当表决器失效率λv≥10－3时,系统能够保持在可靠度不小于0.99的时间不足2.5 h,这是因为随着表决器失效率的增大,子系统的可靠度急剧下降,图 6清晰地说明了这种变化.

综合图 6和图 7的表决器对系统可靠度和子系统可靠度的影响变化曲线,发现,即使组件单元工作完好,一旦表决器出现故障,则系统将出现故障.因此,为了使系统能够在比较长的时间内保持较高的任务可靠度,除了使用组件单元冗余配置结构外,还应设法提高表决器的可靠度. 3 结 论

通过测试函数的仿真分析,说明了本文提出的鱼群算法和增广拉格朗日乘子法相结合的混合优化算法能够有效地处理函数极值问题的优化求解,同时将该混合算法用于飞行控制系统可靠度和冗余度的同时优化与分配,通过仿真分析可以得出:

1) 分配结果进一步证明了该算法具有较强的全局收敛性和较好的算法稳定性;

2) 证明了采用余度配置可以大大提高系统的可靠度,改善系统的可靠性;

3) 仿真分析了表决器的失效率对系统可靠度的影响,说明改善系统的可靠度不仅要恰当地配置系统冗余,同时也要注意改善表决器的可靠度.因此,目前在实际工程中,除了采用组件系统冗余,同时也注重表决器结构的冗余配制,保证系统更可靠地工作.

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北京航空航天大学主办。
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文章信息

刘志君, 高亚奎, 章卫国
Liu Zhijun, Gao Yakui, Zhang Weiguo
成本约束的表决冗余系统可靠度优化与分配
Reliability-redundancy optimization and allocation of voting system under cost constraint
北京航空航天大学学报, 2014, 40(12): 1747-1753
Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2014, 40(12): 1747-1753.
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2013.0765

文章历史

收稿日期：2014-01-13
网络出版日期: 2014-06-04

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