一、引言

在金融市场的交易之中，很多产品的交易价格依赖于另一种资产的价格，比如股指期货价格和其对应股票指数的价格。这两个价格未必相同，并且两者的偏差几乎是始终存在的。如果偏差在某一时刻达到一定幅度则可能给投资者带来无风险的期现套利机会。

早期的文献研究了期现套利中的各种风险。Chung、Miller等关注价格陈旧的问题。^[1—2]Pope和Yadav，Gay和Jung，Lin等，Fung和Draper强调卖空的限制。^[3—6]Neal考虑了跟踪误差的影响。^[7]Kamara和Miller，Chiou等分析了流动性问题和执行的延迟。^[8—9]近期的文献发现现货指数的波动率是影响基差的重要因素，Tu等分析了波动率对于期货价格偏差的影响，提供了S & P 500指数期货定价的偏差随着预期波动率的增加而加大的强有力证据。^[10]还有研究发现期货与现货之间的相关性降低，保证金花费增加，筹集资金能力的下降，基金赎回的可能性增加等因素降低了投资者参与期现套利的积极性。^[11-12]另外更高的波动率增加了期现套利的风险。

上述已有研究主要定性分析了期现套利中可能遇到的风险及产生的原因，相应风险的定量研究相对缺乏。对于在什么条件下参与期现套利的研究较少。现有的对于股指期货价格和现货价格的关系问题的研究的焦点之一是期货和现货价格是否具有领先滞后关系。随着股指衍生品市场的不断完善，不少学者在研究中引入股指期权的价格，但三者价格关系对股指期货期现套利影响的研究相对较少。魏洁等研究了香港恒指现货、期货和期权市场间的领先—滞后关系及其指数期权的价格偏差现象。^[13-15]Bohl等以新加坡上市的中国A50指数期货作为研究对象。^[16]由于国内并没有上市沪深300指数的期权，所以关于沪深300指数现货期货及其期权相互价格关系的研究相对较少。

文章利用期权的思想，把股指期货常见的交易模式与期权的4种最基本交易方式联系起来，并根据相应期权的特性提出了风险管理和增强收益的方法。通常股指期货的无套利区间的研究都是在考虑交易的资金成本，手续费以及对价格的冲击成本的基础上提出的。设S(t)为当前t时刻的现货指数，无风险利率为r，T为股指期货合约最后交易日，d为指数的年化股息率，则T时刻交割的股指期货合约当前的理论价格为F(t)=S(t)e^{(r-d)(T-t)/365}。相应的无套利区间为[S(t)e^{(r-d)(T-t)/365}-TC, S(t)e^{(r-d)(T-t)/365}+TC]，这里TC为所有交易成本的合计数，TC通常由交易费用，市场冲击成本，借贷利率差成本三部分组成。^[17]魏卓等的研究采用了上述的无套利区间，并对交易费用TC进行了估算。^[18]方兆本等也对股指期货套利进行了研究^[19]。文章借助平值期权的权利金大小提出了股指期货的新的无套利区间。

设B(t)为股指期货和现货指数的偏差，则

(1)

如果B(t)＞0，则股指期货相对于现货指数是升水的。反之若B(t)＜0，则股指期货相对于现货指数是贴水的。

假设T-t为剩余时间，σ为标的现货指数波动率。或有权益是一种金融资产，它未来的回报取决于其他资产的价值。或有权益分析(CCA)是Black、Scholes、Merton提出的期权定价理论的推广。将F(t)和B(t)看作是基于S(t)的或有权益，则F(t)和B(t)与S(t), T-t, σ_U, r, q有关，有

(2)

(3)

将B(t)大小与到期时间为T，执行价格为S(t)的股指平值看涨或看跌期权的权利金作比较。因为没有相应的期权产品上市交易，全文在Black-Scholes-Merton公式的假设下使用该公式计算欧式平值看涨期权和看跌期权的价格。

二、投资者交易行为的期权化

根据股指期货与现货指数不同的价格关系，将4种交易行为类比为期权的4种基本操作方式。最后将期现套利者类比为卖出期权的交易者。

(一) 买入股指看涨期权——买入相对标的指数升水的股指期货合约

当投资者强烈看涨现货指数或股指期货时会买入相对现货指数升水交易的股指期货合约，此时B(t)＞0。

具体的以沪深300股指期货为例，由基差=现货指数价格-股指期货价格，将期货价格和基差看作是基于现货指数价格的或有权益。

文章假设沪深300股指期货和股指期权到期日的交割价相等。买入股指期货并且持有到期指到期日交割的投资者，其损益=股指期货交割价-股指期货买入价，盈亏平衡点为买入期指的价格即买入时的现货价格减去基差。假设存在执行价格刚好为当前股指现货价格，到期日与股指期货相同的平值欧式看涨期权，则同一时刻买入看涨期权投资者的盈亏平衡点=股指看涨期权的执行价格+期权权利金。将股指期货的基差的绝对值(这里基差为负)，认为是多头获得杠杆来买入股票指数所支付的资金成本，将其与当前现货指数水平为执行的价格且具有相同到期时间的平值看涨期权的权利金大小进行类比，如图 1所示。

2014年12月19日，沪深300指数3 383.17点，IF1601合约3 510.4点，基差-127.23点，距离到期日28天以30%隐含波动率计算的看涨期权权利金115.07点。

由到期时两者的损益图对比可知，股指期货的升水值如果高于平值看涨期权的权利金c(t)，则看涨期权多头的损益图始终位于股指期货多头的上方。从权利与义务的角度来说，买入股指期货的投资者，如果持有到期则既有权利同时也有义务在交割日以交割价对买入对应的现货指数进行现金结算。而对于买入看涨期权的投资者在花费不高于股指期货升水的情况下，当股指上涨时收益并不低于股指期货的多头，如果股指在交割日下跌到执行价格以下，则没有义务对股指期权进行交割可以放弃执行期权，因此优于直接买入股指期货。

如果出现股指期货的升水高于平值看涨期权的权利金c(t)的情况，投资者可以进行股指期权与股指期货之间的套利，即卖出股指期货的同时买入平值看涨期权。可以看出套利者实际以负的成本得到了一份保护性看涨期权组合。在不考虑交易和交割手续费的前提下，该套利最小收益为股指期货升水值与平值看涨期权权利金的差。若股指交割时的价格低于看涨期权的执行价格，套利收益会进一步增加。无论股指价格如何变化，该组合收益均为非负。而通常买入股指现货卖出股指期货的期现套利投资者在到期日所得收益为基差绝对值。两者相比，套利者将多头端替换为采用股指看涨期权来对冲，相当于付出了部分权利金，其大小等于基差绝对值减去看涨期权权利金的差值，但获取了股指下跌到低于期权执行价格时更高的套利收益。此时相对现货升水的股指期货单边投机的多头持有者可以选择将多头端换为平值看涨期权来降低股指向下波动时的风险。买入平值股指看涨期权与买入升水股指期货相比等于得到了一份免费的看跌期权，如图 2所示。

所以由上述股指期权与股指期货的套利方式，得到了股指期货基差的一个下界，即基差＞-平值股指看涨期权的权利金。

由损益图将买入升水股指期货的交易类比买入平值股指看涨期权，可知当升水值B(t)与看涨期权权利金c(t)的相似情况下，两者收益部分相似，买入看涨期权的风险低于买入升水股指期货。可以通过与B(t)相似价格的看涨期权的希腊字母来对升水股指期货的风险进行近似的分析。由此可知买入升水股指期货有Delta=1, Gamma=0，波动率增加有利，Vega＞0，时间流逝不利，Theta＜0。

(二) 卖出股指看跌期权——买入相对现货指数贴水的股指期货合约

当B(t)＜0时，买入相对现货指数贴水交易的股指期货的投资者在看涨标的指数及其股指期货的同时，对于标的指数的上涨空间不如买入升水股指期货的投资者那样乐观，希望在一定的安全边际下做多标的指数。

2013年7月4日，沪深300指数2 221.98点，IF1307合约2 165.6点，基差56.38点，距离到期日15天以30%隐含波动率计算的看跌期权权利金52.51点。

以股指期货的投资者以例，如果投资者买入贴水的股指期货，则盈亏平衡点=期指买入价=买入时的现货价格-基差，如图 3所示。假设存在执行价格为当前股指现货价格且到期日与股指期货相同的平值看跌期权，则同一时刻卖出看跌期权投资者的盈亏平衡点=股指看跌期权的执行价格-期权权利金。由到期时两者的损益图对比可知，股指期货的基差如果大于平值看跌期权的权利金，则看跌期权空头的损益始终位于贴水股指期货多头的下方。从权利与义务的角度来说，买入股指期货的投资者，如果持有到期则既有权利同时也有义务在交割日以交割价对买入的股指进行现金结算。而卖出股指看跌期权的投资者在收取的权利金不高于股指期货的贴水所带来的安全边际情况下，如果股指在交割日下跌到执行价格以下，则仍有义务买入股指进行期权交割，当股指下跌时的风险并不比买入贴水股指期货低。如果股指在交割日上涨超过执行价格以上，则至多获得看跌期权的权利金，没有权利像贴水的股指期货多头那样继续享受股指期货上涨所带来的收益，因此弱于买入贴水的股指期货。

如果出现股指期货的贴水值高于平值看跌期权的权利金的情形，投资者可以进行股指期权与股指期货之间的套利，即买入贴水股指期货的同时买入平值看跌期权。可以看出套利者实际构建了一份保护性看跌期权的组合。在不考虑交易交割手续费的前提下，该套利最小收益为股指期货贴水值与平值看跌期权权利金的差|B(t)|-p(t)，若股票指数在交割时高于看跌期权的执行价格则套利收益会进一步增加。而买入股指期货卖出股指现货的期现套利投资者在到期日所得收益为基差。将空头端改为采用看跌期权对冲后，投资者相当于付出了一个看涨期权的权利金，其大小为基差减去看跌期权价值权利金的差，获取了股指上涨的情况下更高的收益，如图 4所示。

所以通过上述股指期权与股指期货的套利分析，得到了股指期货基差的一个上界，即基差＜平值股指看跌期权的权利金。综上，-平值股指看涨期权的权利金＜基差＜平值股指看跌期权的权利金。

由损益图可知将买入贴水股指期货的交易类比卖出平值看跌期权，在贴水值|B(t)|与看跌期权权利金p(t)的相似情况下，两者在标的资产下跌时的风险相似。因此，可以通过参考与|B(t)|相似价格看跌期权的希腊字母对相应的买入贴水股指期货的下跌时所带来的风险进行分析。其中Delta=1, Gamma=0, Vega＜0, Theta＞0。即标的物上涨有利，波动率增加不利，时间流逝有利。

(三) 买入股指看跌期权——卖出相对现货指数贴水的股指期货合约

当投资者强烈看跌现货指数或股指期货时会卖出相对现货指数贴水的股指期货合约，此时B(t)＜0。

以沪深300股指期货的投资者以例，卖出股指期货并且持有到期指到期日交割的投资者，其损益=股指期货卖出价-股指期货交割价，期指的卖出价即为盈亏平衡点=卖出时的现货价格-基差。假设存在执行价格与当前股指现货价格相同的平值看跌期权，则而同一时刻买入股指看跌期权投资者的盈亏平衡点=股指期权的期权执行价格-期权权利金。如果股指期货贴水于现货，则此时基差为正。将基差大小认为是做空投资者获得杠杆来卖出股票指数所支付的资金成本，将其与以当前现货指数水平为执行价格且具有相同到期时间的平值看跌期权的权利金大小进行类比。

2013年7月4日，沪深300指数2 221.98点，IF1307合约2 165.6点，基差56.38点，距离到期日15天以30%隐含波动率计算的看跌期权权利金52.51点。

到期时两者的损益对比可知，股指期货的基差如果大于平值看跌期权的权利金，则看跌期权多头的损益图始终位于股指期货空头的上方，如图 5所示。从权利与义务的角度来说，卖出股指期货的投资者，如果持有到期则既有权利同时也有义务在交割日以交割价对卖出的现货指数进行现金结算。而对于买入看跌期权的投资者在花费不高于股指期货的贴水的情况下，如果股指在交割日上涨超过执行价格以上，有权利放弃执行期权而没有义务对股指期权进行交割，因此优于卖出贴水的股指期货。

同样如果出现股指期货的贴水高于平值看跌期权的权利金，投资者可以进行股指期权与股指期货之间的套利，即买入股指期货的同时买入平值看跌期权进行套利，如图 4所示。可以看出套利者实际构建了一份保护性看跌期权的组合。在不考虑交易交割手续费的前提下，该套利最小收益为股指期货贴水值与平值看跌期权的差，若股指交割时的价格高于看跌期权的执行价格则套利收益会进一步增加。

因此，单边做空的投机者直接购买看跌期权也优于做空贴水股指期货，相当于得到了一份免费的看涨期权。使用贴水股指期货空头套期保值规避风险的投资者也可以将空头端替换为看跌期权来增强投资收益。

由损益图将卖出贴水股指期货的交易类比买入平值看跌期权，可知在贴水值|B(t)|与看跌期权权利金p(t)的相似情况下，两者收益部分相似，买入看跌期权的风险低于卖出贴水股指期货。因此，可以通过与|B(t)|相似价格的平值看跌期权的希腊字母对相应的卖出贴水股指期货的风险进行近似的分析。可知卖出贴水股指期货有Delta=-1, Gamma=0，波动率增加有利，Vega＞0，时间流逝不利，Theta＜0。

(四) 卖出股指看涨期权——卖出相对现货指数升水的股指期货合约

当B(t)＞0时，卖出相对现货指数升水的股指期货的投资者在看跌标的指数同时看空情绪不如卖出贴水股指期货的投资者那样强烈，希望在一定的安全边际下做空现货指数。

以沪深300股指期货的投资者以例，如果投资者卖出升水的股指期货，则盈亏平衡点=期指卖出价=卖出时的现货价格-基差。假设存在执行价格与当前股指现货价格相同且具有相同到期时间的平值看涨期权，则同一时刻卖出看涨期权投资者的盈亏平衡点=股指看涨期权的执行价格+期权权利金。到期时两者的损益如图 6所示，对比可知，股指期货的升水值如果不小于平值看涨期权的权利金，则看涨期权空头的损益图始终位于升水股指期货空头的下方。从权利与义务的角度来说，卖出股指期货的投资者，如果持有到期则既有权利同时也有义务在交割日以交割价对卖出的现货指数进行现金结算。而对于卖出股指看涨期权的投资者在收取的权利金不高于做空升水股指期货所带来的安全边际情况下，如果股指在交割日上涨超过执行价格以上，则有义务按执行价格卖出股指，股指上涨所带来风险并不比卖出升水股指期货低。如果股指在交割日下跌到执行价格以下，则至多只能收取看涨期权的权利金，没有权利像升水股指期货空头那样卖出股指期货继续享受股指下跌所带来的收益，因此弱于卖出升水的股指期货。

2014年12月19日，沪深300指数3 383.17点，IF1601合约3 510.4点，基差-127.23点，距离到期日28天以30%隐含波动率计算的看涨期权权利金115.07点。

同样，如果出现股指期货的升水高于平值看涨期权的权利金，投资者可以进行股指期权与股指期货之间的套利，即卖出股指期货的同时买入平值看涨期权，如图 2所示。可以看出套利者实际构建了一份保护性看涨期权的组合。在不考虑交易交割手续费的前提下，该套利最小收益为股指期货升水值与平值看涨期权权利金的差，若股指交割时的价格低于看涨期权的执行价格则套利收益会进一步增加。

由损益图将卖出升水股指期货的交易类比卖出平值看涨期权，可知在升水值B(t)与看涨期权权利金c(t)的相似情况下，两者在标的物上涨的时风险相似。因此可以通过参考与B(t)相似价格的平值看跌期权的希腊字母对相应的卖出升水股指期货上涨时所带来的风险进行近似的分析。其中Delta=-1, Gamma=0, Vega＜0, Theta＞0。即标的资产下跌有利，波动率增加不利，时间流逝有利。

(五) 卖出基差绝对值的看涨期权——期现套利

将偏差B(t)看作是现货指数S(t)的或有权益，可以得到基差的希腊字母。期现套利的投资者预计基差的绝对值将收敛，在股指期货贴水较大的情况下做空现货做多期货来做空基差，在股指期货升水较大的情况下做多现货做空期货来做多基差。由股指期货的交割机制，基差将近似收敛到0，期现套利相当于做空一个关于基差绝对值的看涨期权。此时Vega＜0波动率增加不利，Theta＞0时间流逝有利。具体到股指期货期现套利的投资者类似于卖出期权者，则应该主要关注基差绝对值大小，股指现货的隐含波动率，股指期货合约的到期时间3个因素来管理套利的风险。

1.基差绝对值：类似于卖出期权投资者所获得的权利金。套利者需要在套利过程中更高的风险补偿，基差的绝对值直接决定了套利的利润，影响着投资者参与套利的意愿。如果基差的绝对值高于对应股指平值期权的权利金，则是非常好的套利机会。

2.现货指数波动率：类似于卖出期权投资者负的Vega值，套利过程中的高波动率从多个因素影响着未来收益的不确定性，如更大的跟踪误差，对于套利头寸更高的流动性需求。此外，套利期间的高波动率将增加持有套利头寸的保证金需求，提高资金成本。极端的波动率有可能导致一些投资者提前平掉自己的头寸，从而严重影响套利的收益。

3.距离到期的时间：类似于卖出期权交易者正的Theta，时间流逝对股指期货期现套利者有利。在其他条件相同的情况下，距离到期时间越短套利者承受的风险越小。

综合前面分析，可得股指期货期现套利的新的无套利区间[S(t)-p(t)-TC, S(t)+c(t)+TC]。

三、实证研究

文章选取从2010年4月16日到2017年3月31日近7年多的沪深300指数的期现货数据进行研究。沪深300指数现货的日收盘数据和沪深300股指期货每日15:00的收盘数据来源于Wind数据库。使用股指期货的当月合约来计算基差，在每月股指期货交割日的前两日将股指期货由当月合约换到下月合约。由Wind资讯，沪深300指数250周的波动率约为24%，因此分别设定阈值为σ=20%及σ=30%，取执行价格为当日现货指数的价格，使用BS公式计算对应平值看涨看跌期权的价格c(t)和p(t)，选取出满足下列套利条件的日期，-B(t)＜c(t)＜0或0＜p(t)＜B(t)。

利用基差的绝对值作为期权价格，使用BS模型反解出对应的隐含波动率。计算平值期权的Vega和Theta值，可以作为股指期货单边交易和期现套利的定量分析工具。

笔者将研究分为两个阶段。从2010年4月股指期货挂牌上市，股指期货逐渐发展成熟壮大，到2015年5月无论是持仓量还是成交量都达到了极高的水平，也良好的发挥了价格发现的功能。自2015年6月以后中国股票市场出现了大幅度的下跌，随后管理层推出了限制融券和股指期货做空等措施，股指期货的基差的较之前的阶段出现了比较大的变化。特别是2015年9月以后股指期货受到保证金提高，持仓量限制等因素的影响，成交量大幅缩减，期现套利行为受到制约，相应的价格发现风险规避等功能受到一些影响，基差始终处在异常高的水平。

第二阶段由于在20%波动率水平下满足套利条件的日期较多，只在文中列出了30%波动率下的结果。计算结果如表 1和表 2所示。

(一) 第一阶段(2010年4月16日—2015年5月29日)

从表 1可知，第一阶段在30%的波动率设定下2013年7月2日—5日共4个交易日有买期货卖现货的期现套利机会。2014年12月4日，12月19日，2010年10月25日，10月28日，11月1日共5个交易日有买入现货卖出期货的期现套利机会。在20%的波动率设定下，共19个交易日具有买入期货卖出现货的期现套利机会，17个交易日具有买入现货卖出期货的期现套利机会。在期现套利边界条件的设定下，沪深300股指期货出现套利机会的频率并不高，而且大部分出现在同一月的合约上，是波动率比较高的时期。其中较大升水和较大贴水带来套利机会的次数是相似的。沪深300股指期货的基差通常大于通过经典模型计算的理论水平，升水的幅度通常要大于贴水的幅度。总体而言，这一时期沪深300股指期货的价格是平稳和理性的，股指期货体现了良好的价格发现和风险规避的功能。

(二) 第二阶段(2015年6月1日—2017年3月31日)

从表 2可知，第二阶段在20%和30%的波动率水平设定下，各有两次买入现货卖出期货的期现套利机会。在同样的波动率水平下，分别有124次和61次买入期货卖出现货的期现套利机会。

整个2015年7月和8月，股指期货合约的正基差都十分大，处在极端的贴水状态下。这是因为在中国证券市场在这一时期连续快速下挫，市场情绪极度看空，在现货市场流动性匮乏并且缺乏融券，股指期权等做空手段避险的情况下，只能通过卖出股指期货来规避现货市场下跌的风险，导致正基差扩大。同时因为无法融券和通过期权衍生品来做空现货，套利投资者无法入场完成套利，正基差始终保持在很大的状态。笔者计算的以基差为价格的相应平值期权所对应隐含波动率很多都超过了100%，反映了基差大小并不正常。

自2015年9月以后，股指期货交易的保证金和手续费大幅度提高，对单账户下单量持仓量限制等因素的影响，成交量明显缩减。期现套利的交易行为受到制约，相应的价格发现风险规避等功能受到一些影响，基差始终处在较高的水平。随着2016年下半年以来股指稳步反弹，市场信心逐渐恢复，基差水平逐步降低，相应的期现套利的机会也随之减少。

由之前的论述，股指期货与现货指数的差值大小不会超过相应平值期权的权利金。在没有股指期权上市的情况下，由于缺乏上述股指期货与股指期权之间的套利机制，导致沪深300股指期货的基差一直较大。基差绝对值的大小也一定程度上反映了市场对隐含波动率的预期。例如：当股指期货相对现货出现较大的升水并且没有很快恢复时，一方面说明看涨者认为未来市场有更大的上升空间并且预期有更大的波动率乐于进一步买入股指期货。另一方面期现套利的交易者担心更大的波动率导致股指期货进一步上涨的可能而追加保证金影响套利资金效率，有的甚至会因为保证金不足被迫平仓从而更多的是观望情绪缺乏参与期现套利的意愿，造成基差短时间内难以回归。但由于买入现货卖出股指期货的套利相对较易实现，负基差不会维持很长的时间。当市场出现极度恐慌的下跌行情时如2015年的下半年，股指期货也会出现比较大的贴水。此时因为没有可交易的股指期权，大规模的现货卖出容易受流动性所限，一些投资者只能选择在已经深度贴水的股指期货上做空来避险，导致贴水进一步扩大。除了上述基差为负时的一些因素外，由于融券做空的一些限制，买入期指融券卖出现货的期现套利操作难以如期实现，导致正基差可能始终较大。

因此，应该尽快推出股指期权这一重要的金融产品，且其到期日应与现有股指期货产品相同，在设计上交割机制能使得临近到期日相应价差能够收敛，确保现货指数，股指期货价格股指期权价格满足文中所述的价格关系。减轻对股指期货交易的限制，完善融券等做空机制，进一步完善金融期权期货产品线，合约价值更小让更多的投资者参与到类似产品的套利交易中，发挥其价格发现规避风险的功能。

四、结论

文章将股指期货价格和基差看作是现货指数的或有权益，将股指期货的四种单边交易行为和期现套利与期权的交易模式进行对比。一些期权的特征例如希腊字母可以用来分析股指期货交易的风险和收益。文章得到了一个基于平值股指期权权利金的股指期货期现套利的边界条件。

股指期货期现套利者看空基差的绝对值，与卖出期权的投资者相似。文章强调了基差绝对值，现货指数波动率，期货合约到期时间对期现套利交易的影响，这3个因素恰好类似于卖出期权的希腊字母。套利期间较大的波动率影响着套利的利润和参与套利的意愿。极端的价差意味着维持正常期现关系的套利机制的失败，当期现套利的风险到达一定程度将使得套利者不愿意从事看上去有利可图的交易。可以用平值期权的希腊字母作为期现套利价格风险管理有用的定量工具, 单边交易也可以作为参考。

通过基于沪深300股指期货的实证研究，文章对基差和相应的平值期权进行了比较，发现在中国金融期货市场有很多期现套利的机会，基差的绝对值通常大于理论水平，特别是在2015年股市大幅下跌期间。中国金融市场应当完善做空机制，增加例如股指期权和一些波动率产品等衍生品的交易。笔者猜想如果今后股指期权能够上市，将有更多的金融工具来对冲风险。由文中给出的无套利边界条件，基差绝对值水平会变小，期现套利机会出现的次数也会相应减少。